【解析】任意の頂点を通る二次関数の共有点の座標

二次関数

\begin{align}
y=ax^2+bx+c \hspace{5mm} (a \neq 0)
\end{align}

の解は

\begin{align}
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

これに\(a\)と頂点\((p,q)\)を定めたとき、\(b,c\)が

\begin{align}
b&=-2ap \\
c&=ap^2+q
\end{align}

となることを与えれば

\begin{align}
x&=\frac{2ap \pm \sqrt{4a^2p^2-4a(ap^2+q)}}{2a}\\
&=\frac{2ap \pm \sqrt{-4aq}}{2a}\\
\end{align}

となる。

ここで\(a,q\)が同符号の時

\begin{align}
x&= p \pm \sqrt{\frac{q}{a}}i \\
\end{align}

\(a,q\)が異符号の時

\begin{align}
x&= p \pm \sqrt{\frac{q}{a}} \\
\end{align}

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