制御工学 フィードバック系の伝達関数
今回はフィードバック系の伝達関数を求める。 フィードバック系のブロック線図は次のようになる。 各信号の関係は \begin{align}E(s)&=R(s)-Y(s)H(s)\\Y(s)&=G(s)E(s)\end{align} で与えられ...
2021-04
制御工学 
物理 一般化座標とラグランジアン
その系の状態を完全に把握するために必要な変数の量を自由度という。 例えば空間に一つだけ点が置かれている系を考える。この点の位置を完全に把握するには\(x,y,z\)の３つの変数が分かればいい。空間に剛体が置かれた系では\(x,y,z,\ph...
制御工学 ラプラス変換をして二次遅れ系の伝達関数を求める
次の微分方程式で表される系の伝達関数を求める。 \begin{align}\ddot{y}+a \dot{y} + b y - c \dot{u} + d u = 0\end{align} ラプラス変換すると \begin{align}s^...
MATLAB/simulink χ²分布をプロットしてみる
確率分布にはよく使われる正規分部の他に\(\chi^2\)分布というものもある。 \(\chi^2\)分布は\(x\)が負の実数の時は\(0\)となる。グラフを書くだけであれば\(x\)が正の実数を取るときの値を調べればいい。 これより計算...
MATLAB/simulink 正規分布とパラメータの意味
ガウス分布は正規分布とも呼ばれ\begin{align}f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 ...
代数 階乗の桁数とスターリングの公式
計算をする際、どの程度の大きさを持つ数であるか調べたい時がある。階乗の計算は\(n\)が小さな数でも急速に巨大な数となるため、例えば\(100!\)などを直接計算して求めるのは現実的ではない。 試しに階乗の対数を取ってみると \begin{...
MATLAB/simulink サンプリング周波数と信号波形
計算機を用いてグラフを描画する際は離散化された値で計算をするためサンプリング周波数は重要である。今回は一例として正弦波について異なるサンプリング周波数で信号の取得を行い、取得波形の確認を行う。 正弦波の式は \begin{align}y=\...
MATLAB/simulink MATLABでナイキスト線図を書く
ナイキスト線図を使えば複雑なシステムの安定判別をより容易に行えるようになる場合がある。今回は細かいことを気にせずただナイキスト線図を描画する。正しく描けているかのチェックにはMATLABの関数「nyquist」を使用した。 いま開ループ伝達...
MATLAB/simulink 離散系の積分器
古典制御の範囲では制御対象や制御器を表現する場合にはラプラス変換を用いて\(s\)の関数として表した。例えばPID制御の一部である積分器は \begin{align}K_{i} \int_{0}^{t} e(\tau) d \tau\end...
代数 ガンマ関数を定義する
ガンマ関数\(\Gamma(z)\)を次のように定義する。 \begin{align}\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z)...
MATLAB/simulink 一次遅れ系の伝達関数に含まれるパラメータを変更してそれぞれの係数の意味を理解する
一次遅れ系の伝達関数 \begin{align}G=\frac{K}{Ts+1}\end{align} について、係数の持つ意味を理解する。一般に\(K\)は比例ゲイン、\(T\)は時定数と呼ばれる。 次のグラフは比例ゲインを固定し、時定数...
英語 be動詞の使い方
be動詞は「～です」「～いる」「～ある」などの意味がある単語である。例えばI am Tom. (私はトムです。)You are Kankichi.(あなたは勘吉です。)Kankichi is in Tokyo now. (勘吉は今、東京にい...
MATLAB/simulink MATLABでトーラスを描く
MATLABを使ったトーラスの描き方はMATLABのヘルプセンターにサンプルコードがある。そのコードはSymbolic Math Toolboxを使って書かれてるため不必要な形になるよう書き直した。 トーラスは次の式で与えられる \begi...
電気 正弦波交流回路の力率と力率改善
正弦波交流回路の重要なパラメータに力率がある。力率が悪化すると負荷電流が増大し、それに伴って電圧降下の増大、電力損失の増大に伴う電源の大容量化などが起こる。 正弦波交流の有効電力は \begin{align}W=IV \cos \theta...
MATLAB/simulink MATLABを使って伝達関数を部分分数分解する
制御工学ではよく伝達関数の性質を調べるために部分分数分解をすることがある。部分分数分解とは分数の分母を因数分解し、それらをいくつかの分数の和に分解することを指す。例えば \begin{align}\frac{1}{(x+p_{1})(x+p...
数学 オイラーの公式を使った指数関数と三角関数の複素数表示
実数の範囲では関連のなかった三角関数と指数関数だが、オイラーの公式を使うと複素数の範囲でその関係を示すことができる。 まず、オイラーの公式は \begin{align}e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin...
制御工学 PID制御の伝達関数
PID制御は比例制御、積分制御、微分制御を組み合わせたものである。その構造は単純で幅広く使われている。 比例制御は次で表される。 \begin{align}K_{p} e(t) \end{align} \(K_p\)は比例ゲインと呼ばれる。...
MATLAB/simulink ガウスニュートン法による関数フィッティング
いくつかのデータ群から関数フィッティングを行う手法はいくつかあり、ガウスニュートン法はその一つである。 今回は調べていたら偶然見つけたガウスニュートン法のMATLABスクリプトを修正、関数化して使いやすくてみた。 プログラムは以下の通り。 ...
制御工学 比例微分先行型PID制御の伝達関数
比例微分先行型PID制御系の伝達関数\( T(z^{-1}) \)を求める。\( z^{-1} \)は\( z^{-1}f(t) = f(t-1) \)を満たすような演算子である。 ここで\( \Delta \)を \begin{align...
制御工学 最終値の定理
時間関数\(x(t)\)について、\(t=\infty\)の値をラプラス変換により得られた結果\(X(s)\)より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。 \begin{align}\int_{0}^{\infty} \dfrac{...