階乗の桁数とスターリングの公式

計算をする際、どの程度の大きさを持つ数であるか調べたい時がある。階乗の計算は\(n\)が小さな数でも急速に巨大な数となるため、例えば\(100!\)などを直接計算して求めるのは現実的ではない。

試しに階乗の対数を取ってみると

\begin{align}
\log n! =\log 1!+\log 2!+\log 3!+\log 4!+\cdots+\log (n-1)!+\log n!
\end{align}

となる。桁数を求めるにはこれを積分すればいい。対数の積分は

\begin{align}
\log x! =\int_{\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} \log x dx = \left [ x \log x \right ]_{\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} – \int_{\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} dx
\end{align}

\(n\)が十分大きいならば

\begin{align}
\log x! \approx x \log x -x
\end{align}

となる。