MATLAB/simulink MATLABでトーラスを描く
MATLABを使ったトーラスの描き方はMATLABのヘルプセンターにサンプルコードがある。そのコードはSymbolic Math Toolboxを使って書かれてるため不必要な形になるよう書き直した。 トーラスは次の式で与えられる \begi...
数学
MATLAB/simulink 数学 オイラーの公式を使った指数関数と三角関数の複素数表示
実数の範囲では関連のなかった三角関数と指数関数だが、オイラーの公式を使うと複素数の範囲でその関係を示すことができる。 まず、オイラーの公式は \begin{align}e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin...
MATLAB/simulink ガウスニュートン法による関数フィッティング
いくつかのデータ群から関数フィッティングを行う手法はいくつかあり、ガウスニュートン法はその一つである。 今回は調べていたら偶然見つけたガウスニュートン法のMATLABスクリプトを修正、関数化して使いやすくてみた。 プログラムは以下の通り。 ...
数学 ゼータ関数の特殊値計算とEuler-Maclaurinの公式
ゼータ関数 \( \zeta(s) \) \begin{align}\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}\end{align} の数値計算はこのままで行うのは難しい。このため数値計算を...
幾何 オイラー角を用いた回転表現
空間に置かれた剛体の回転について考える。今、剛体の姿勢を\( \boldsymbol{\eta} \)を用いて \begin{align}\boldsymbol{\eta}=\begin{pmatrix} \phi \\ \theta \\...
代数 線形な関数とは
数学やその他分野で出てくる線形な関数とは次の性質を満たすものである。 \begin{align}f(a+b)&=f(a)+f(b)\\k f(a)&=f(ka) \hspace{5mm} k \in \mathbb{R}\end{align...
幾何 デカルトの定理のいう不足角とは
デカルトの定理が主張する凸多面体の不足和は一般に \begin{align}\left ( 2 \pi - \sum_{i=1}^{N} \dfrac{ \pi (n_{i} - 2 ) }{n_{i}} m_{i} \right ) v ...
幾何 オイラー票数とデカルトの定理
デカルトの定理は不足角に関するものであり、ある多面体の不足和の総和を\(\theta\)とすると \begin{align}\theta = 2 \pi \chi\end{align} \(\chi\)はオイラー標数とも呼ばれ、\(\chi...
幾何 オイラーの多面体定理を用いた正多面体の判別
\(n\)角形で構成される正多面体の面の数を\(f\)、頂点の数を\(v\)、辺の数を\(e\)とすると、オイラーの多面体定理は \begin{align}v-e+f=2 \end{align} となる。ここで、 \begin{align}...
MATLAB/simulink モンテカルロ法を使って円周率を計算する
円周率を計算する方法にモンテカルロ法というものがある。 モンテカルロ法は次の手順で円周率を求める。 円と、円が内接するような正方形を用意する正方形内にランダムな点を打つ全点と円内の点との数の比を求める すなわち \begin{align}\...
数学 ２つの集合の間に定義される積集合とその例
ある集合\(A\)と\(B\)について、どちらにも含まれている元を集めた集合を積集合といい \begin{align}A \cap B\end{align} で表す。 例えば\(A=\{ 1,2,3,4,5 \} \)と\(B=\{ 5,6...
幾何 回転行列の固有値と固有ベクトル
\(x\)軸周りの回転を表す回転行列 \begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & \cos \phi & \sin \phi \...
幾何 クォータニオンを定義する
クォータニオンは１つの実部\(\eta\)と３つの要素を持つ虚部\(\boldsymbol{\varepsilon}\)からなる。\(\boldsymbol{\varepsilon}\)は \begin{align}\boldsymbol{...
MATLAB/simulink エラトステネスのふるいを約数の関係を使って改良する
前回実装したエラトステネスのふるいを約数の関係を使って高速化する。 例えば次の数の約数は \begin{align}12=1,2,3,4,6,12\end{align} となる。ここである約数\(n\)の掛け算の組を\(m_{1},m_{2...
MATLAB/simulink エラトステネスのふるいを実装する
素数とは１と自身以外に約数を持たない正の整数のことである。この素数には今のところ法則性が見つかっておらず、探すにはエラトステネスのふるい等を用いる必要がある。 エラトステネスのふるいは次のステップで素数の探索を行う。 ２を素数にする２の倍数...
幾何 回転行列から回転角を求める
回転行列\(\boldsymbol{R}\) \begin{align}\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}\cos \psi \cos \theta& \cos \psi \sin \phi \sin \theta...
幾何 開区間と閉区間
開区間と閉区間の厳密な定義は置いておいて、これらを考えてみる。開区間の例 \begin{align}(0,1) = \left \{ x| 0 < x < 1 \right \}\end{align} 閉区間の例 \begin{align}...
幾何 ルービックキューブの自由度
\( n \times n \times n \)の立方体で作られるルービックキューブの回転は、重複と逆回転を考えなければ \begin{align}24n\end{align} となるが、最小の回転軸数は\begin{align}3(n-...
幾何 ベクトルの内積
ベクトル\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n} \)とベクトル\(\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n} \) との内積は \begin{align}\boldsymbol{A} ...
幾何 プラトンの多面体定理をオイラーの多面体定理を使って証明する
正\( n \)角形のからなる正多面体を\( T \)とおく。いま正多面体の各頂点から\(q\)本の辺が出ているとすると、\(v=v(T),e=e(T),f=f(T)\)とおいてオイラーの多面体定理に当てはめれば \begin{align}...