クォータニオンを定義する

クォータニオンは１つの実部\(\eta\)と３つの要素を持つ虚部\(\boldsymbol{\varepsilon}\)からなる。\(\boldsymbol{\varepsilon}\)は

\begin{align}
\boldsymbol{\varepsilon}= {}^{t}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} & \varepsilon_{3}
\end{pmatrix}
\end{align}

である。ここで、\(\boldsymbol{q}\)は

\begin{align}
\boldsymbol{q} {}^{t} \boldsymbol{q} = 1
\end{align}

を満たしている。これを考慮して単位クォータニオンを定義すれば

\begin{align}
Q={ \boldsymbol{q} | \boldsymbol{q} {}^{t} \boldsymbol{q} = 1 , \boldsymbol{q} = {}^{t} ( \eta \ {}^{t} \boldsymbol{\varepsilon} ) , \eta \in \mathbb{R} \land \ \boldsymbol{\varepsilon} \in \mathbb{R}^3 }
\end{align}

流儀により多少異なる定義になる場合があるが、その場合であってもクォータニオンの持つ性質に影響はない。

ここで\(\boldsymbol{\varepsilon},\eta\)はそれぞれ

\begin{align}
\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\lambda} \sin \frac{\delta}{2} \hspace{10mm} \eta= \cos \frac{\delta}{2}
\end{align}

であるから\(\boldsymbol{q}\)は

\begin{align}
\boldsymbol{q}= \eta+ \varepsilon_{1} \boldsymbol{i} + \varepsilon_{2} \boldsymbol{j} + \varepsilon_{3} \boldsymbol{k} =\cos \frac{\delta}{2} + \sin \frac{\delta}{2} \boldsymbol{i} + \sin \frac{\delta}{2} \boldsymbol{j} + \sin \frac{\delta}{2} \boldsymbol{k}
\end{align}

となる。