数学

とくに現代制御においては行列の指数関数を計算する場面が現れる。行列の指数関数は \begin{align} e^{A}, \exp A, \end{align} で表される。いま、行列の指数関数を \begin{align} e^A=\su...

\(n\)次の代数方程式 \begin{align}a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0(a_n, \cdots ,a_0 \in \mathbb{C},a_{n} \neq 0)...

線形な関数であるとは \begin{align} f(x+y)&=f(x)+f(y)\\f(kx)&=kf(x) \end{align} を満たす関数のことで、実際にどのような例があるのか適当な値を代入しいくつか計算してみる。 例１\( f...

オイラーの公式 \begin{align}e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\end{align} から加法定理を計算することができる。いま\(\theta_1,\theta_2\)の合成を...

円の方程式\(x^2+y^2=r^2\)より \begin{align}S=2\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2}\end{align} \(x=r\sin\theta\:(-\frac{\pi}{2}\leq \the...

三角形ABCについて、次の二つの定理が成り立つ 正弦定理 \begin{align}\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} = 2R\end{align} 余弦定理 \beg...

\( 2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0 \)について \(c=1\)のとき左辺を因数分解 まず\(c=1\)を代入すると\( 2x^2+x+12=0 \) これより左辺＝\(2x^2+x-10=(2x+5)(x-2) \) ...

\(f\)が集合\(S\)から集合\(T\)への写像であるとは、 \begin{align}f:S \to T \hspace{10mm} S \xrightarrow{f} T\end{align} などと表す。これを一つの図で \beg...

集合\(S,T\)の直積\(S \times T\)とは、\(S\)の元と\(T\)の元の組の全体の集合のことをいう。すなわち \begin{align}S \times T := \{(s,t) | s\in S , t \in T \}...

一片の長さが\(a\)の正四面体の表面積を考える。正四面体を構成する正三角形の高さは \begin{align}AH=\sqrt{a^2 - \left ( \frac{1}{2} a \right ) ^2} = \frac{\sqrt{...

\begin{align}\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\end{align} の行列式は \begin{align}ad-bc\end{align}

\(a\)を定数とする。直線\(l:y=(a^2-2a-8)x+a \)の傾きが負になる\(a\)の範囲はいくらか。 \(a^2-2a-8\)について、因数分解すれば\((a-4)(x+2)\) これより\(-2<a<4\)

\( x^4 + 10 x^3 + 25x^2 -36 \)を因数分解せよ。 賢いやり方はyoutubeにあったので因数定理を使って解いてみる。いつの問題かはわからなかった・・・。 \( x=1 \)のとき\( x^4 + 10 x^3 +...

極限\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos2x}{x^2} \)を求めよ 半角の公式 \begin{align}\sin^2 x= \frac{1-\cos2x}{2}\end{align}...

指数関数\(e^x\)のマクローリン展開は \begin{align}e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \cdots\end{align} で与えられる。 いま\(x= j \theta \)とす...

計算をする際、どの程度の大きさを持つ数であるか調べたい時がある。階乗の計算は\(n\)が小さな数でも急速に巨大な数となるため、例えば\(100!\)などを直接計算して求めるのは現実的ではない。 試しに階乗の対数を取ってみると \begin{...

ガンマ関数\(\Gamma(z)\)を次のように定義する。 \begin{align}\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z)...