\( 2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0 \)について
[1] \(c=1\)のとき左辺を因数分解
まず\(c=1\)を代入すると\( 2x^2+x+12=0 \)
これより左辺＝\(2x^2+x-10=(2x+5)(x-2) \)
解は\(x=- \frac{5}{2} , 2\)
[2] \(c=2\)のとき左辺を因数分解
\( 2x^2+5x-5=0 \)
解の公式より\(\frac{-5 \pm \sqrt{25 – 4 \times 2 \times (-5)}}{2 \times 2} \)
これより\(\frac{-5 \pm \sqrt{65}}{4} \)
大きいほうを\(\alpha\)とすると、\(\alpha=\frac{-5 +\sqrt{65}}{4} \)
\(\frac{5}{\alpha}=\frac{20}{-5 +\sqrt{65}} =\frac{5 +\sqrt{65}}{2} \)
ここで\(7<\sqrt{65}<9\)より\(\frac{13}{2}<\frac{5+\sqrt{65}}{2}<7\)
よって\(m=6\)
[3] 有理数となる条件より判別式
\(D=(4c-3)^2-8(2c^2-c-11)=-16c+97\)
\(D>0\)かつ平方数となるのは\(c=1,3,6\)
よって3つ
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