MATLAB/simulink MATLABでトーラスを描く
MATLABを使ったトーラスの描き方はMATLABのヘルプセンターにサンプルコードがある。そのコードはSymbolic Math Toolboxを使って書かれてるため不必要な形になるよう書き直した。 トーラスは次の式で与えられる \begi...
幾何
MATLAB/simulink 幾何 オイラー角を用いた回転表現
空間に置かれた剛体の回転について考える。今、剛体の姿勢を\( \boldsymbol{\eta} \)を用いて \begin{align}\boldsymbol{\eta}=\begin{pmatrix} \phi \\ \theta \\...
幾何 デカルトの定理のいう不足角とは
デカルトの定理が主張する凸多面体の不足和は一般に \begin{align}\left ( 2 \pi - \sum_{i=1}^{N} \dfrac{ \pi (n_{i} - 2 ) }{n_{i}} m_{i} \right ) v ...
幾何 オイラー票数とデカルトの定理
デカルトの定理は不足角に関するものであり、ある多面体の不足和の総和を\(\theta\)とすると \begin{align}\theta = 2 \pi \chi\end{align} \(\chi\)はオイラー標数とも呼ばれ、\(\chi...
幾何 オイラーの多面体定理を用いた正多面体の判別
\(n\)角形で構成される正多面体の面の数を\(f\)、頂点の数を\(v\)、辺の数を\(e\)とすると、オイラーの多面体定理は \begin{align}v-e+f=2 \end{align} となる。ここで、 \begin{align}...
MATLAB/simulink モンテカルロ法を使って円周率を計算する
円周率を計算する方法にモンテカルロ法というものがある。 モンテカルロ法は次の手順で円周率を求める。 円と、円が内接するような正方形を用意する正方形内にランダムな点を打つ全点と円内の点との数の比を求める すなわち \begin{align}\...
幾何 回転行列の固有値と固有ベクトル
\(x\)軸周りの回転を表す回転行列 \begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & \cos \phi & \sin \phi \...
幾何 クォータニオンを定義する
クォータニオンは１つの実部\(\eta\)と３つの要素を持つ虚部\(\boldsymbol{\varepsilon}\)からなる。\(\boldsymbol{\varepsilon}\)は \begin{align}\boldsymbol{...
幾何 回転行列から回転角を求める
回転行列\(\boldsymbol{R}\) \begin{align}\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}\cos \psi \cos \theta& \cos \psi \sin \phi \sin \theta...
幾何 開区間と閉区間
開区間と閉区間の厳密な定義は置いておいて、これらを考えてみる。開区間の例 \begin{align}(0,1) = \left \{ x| 0 < x < 1 \right \}\end{align} 閉区間の例 \begin{align}...
幾何 ルービックキューブの自由度
\( n \times n \times n \)の立方体で作られるルービックキューブの回転は、重複と逆回転を考えなければ \begin{align}24n\end{align} となるが、最小の回転軸数は\begin{align}3(n-...
幾何 ベクトルの内積
ベクトル\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n} \)とベクトル\(\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n} \) との内積は \begin{align}\boldsymbol{A} ...
幾何 プラトンの多面体定理をオイラーの多面体定理を使って証明する
正\( n \)角形のからなる正多面体を\( T \)とおく。いま正多面体の各頂点から\(q\)本の辺が出ているとすると、\(v=v(T),e=e(T),f=f(T)\)とおいてオイラーの多面体定理に当てはめれば \begin{align}...
幾何 正多角形を使ったタイリング
平面を有限の種類の多角形を隙間なく敷き詰める操作をタイリングもしくは平面充填という。異なる多角形を用いればどのような平面もタイリングすることができるが、正多角形を1種類のみ用いる場合には三角形、四角形、六角形のみ可能である。 いまタイリング...
MATLAB/simulink ウォリスの公式と円周率
次の無限積をウォリスの公式という。 \begin{align}\lim_{m \to \infty} \large \prod_{n=1}^m \frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{\pi}{2}\end{align} ウォリ...
幾何 プラトンの多面体定理をオイラーの多面体定理を使わずに証明する
正\( n \)角形の内角の和は\begin{align}\pi (n-2)\end{align}より、一つの角は\begin{align}\frac{\pi (n-2)}{n}\end{align}となる。ここで、正多角形をいくつか張り合...