プラトンの多面体定理をオイラーの多面体定理を使わずに証明する

正\( n \)角形の内角の和は
\begin{align}
\pi (n-2)
\end{align}
より、一つの角は
\begin{align}
\frac{\pi (n-2)}{n}
\end{align}
となる。
ここで、正多角形をいくつか張り合わせ立体を作ることを考える。いくつか張り合わせ立体にするためには平面にならないよう\( 2 \pi \)より小さくしなければならないので
\begin{align}
\frac{ \pi (n-2)}{n} x < 2 \pi
\end{align}
これを整理すれば
\begin{align}
(n-2)(x-2) < 4
\end{align}
よりこれを満たすものは
\begin{align}
(n,x)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)
\end{align}
これらはそれぞれ、正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体に対応している。

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