集合の分配律　１

集合の演算において、次の分配率が成り立つ。

$$\begin{align} A \cup (B \cap C) \end{align}$$

証明

$$\begin{align} x \in A \cup (B \cap C) & \Leftrightarrow (x \in A) \lor (x \in B \cup C) \\ & \Leftrightarrow (x \in A) \lor ((x \in B) \land (x \in C)) \\ & \Leftrightarrow ((x \in A) \lor (x \in B)) \land ( (x \in A) \lor (x \in C)) \\ & \Leftrightarrow (x \in A \cup B) \land (x \in A \cup C) \\ & \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ \end{align}$$