代数 約数の総和
\(n\)が\(n=p_1^ap_2^bp_3^c\cdots\)と素因数分解できる時、約数の総和は\begin{align}(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^a)(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^b)\cdot...
代数
代数 代数 合同数と３次方程式が有理数解を持つ条件
合同数の定義\begin{align}\begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば...
代数 合同数と平方数
合同数の定義\begin{align}\begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば...
代数 合同数と楕円曲線の関係
合同数の定義\begin{align}\begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば\begin{align}...
代数 合同数である条件を定式化
\(n\)が合同数であるとは\begin{align}\begin{cases}x^2+y^2=z^2\\\frac{xy}{2}=n\end{cases}\end{align}となる有理数\(x,y,z\)が存在することである。
代数 5^100000の一の位の数
\(5\times5\)が\(25\)であることから\(5\)
代数 2^100の1の位の数
\(2^{100}\)を計算したときの１の位の数を求める。１の位に注目すると\begin{align}2,4,8,6,2,4\cdots\end{align}と続く。4個の繰り返しなので２５回の繰り返しが現れる。余りはないので１の位の数は６
MATLAB/simulink MATLABでベルヌーイ数を求める
これの続きN=6;B=zeros(1,N);B(1,1)=1;disp(B(1,1));fori=2:1:NB(1,i)=getBernoulliNumber(i,B);disp(B(1,i));endfunctionBn=getBerno...
代数 部分分数分解の公式 その１
\(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)は次の関係がある。\begin{align}\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=\frac{1...
MATLAB/simulink MATLABでスターリングの公式を計算する
スターリングの公式は\begin{align}n!\approx\sqrt{2\pin}\left(\frac{n}{e}\right)^n\end{align}で表される。以下コード。stirling(3)functionresult=s...
MATLAB/simulink MATLABでディリクレ核を描画する
ディリクレ核\begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\sin\left(\frac{2n+1}{2}\right)x}{\sin\frac{x}{2}}\end{align}を...
代数 冪乗の和公式
冪乗の和公式は次式で与えられる。\begin{align}\sum_{i=1}^{n}i^k=\sum_{j=0}^{k}i^k\begin{pmatrix}k\\j\end{pmatrix}B_j\frac{n^{k+1-j}}{k+1-...
代数 二次方程式の複素解と共有点の場所
二次方程式\begin{align}y=ax^2+bx+c\end{align}について複素解になるのは\begin{align}b^2-4ac<0\end{align}のときである。このときの共有点の場所を調べる。\(x=p+qi\)とす...
代数 二次方程式の解の差
二次方程式\begin{align}ax^2+bx+c=0\end{align}の解は\begin{align}x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}となる。２つの解をそれぞれ\(\alpha...
代数 オイラー積と素数
オイラー積\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}(pは素数)\end{align}について\(s=-1\)のとき\begin{align...
C/C++/C# Σの公式を計算する その２
C++でΣの公式を計算する。今回計算する公式は次の通り。\begin{align}\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\end{align}以下コード
代数 ２点を通る直線の方程式
傾き\(a\)の直線の方程式は\begin{align}y=ax+b\end{align}点\((x_1,y_1)\)を通るので\begin{align}y_1=ax_1+b\end{align}\(b\)を消去して\begin{align...
python numpyで行列の積を計算する
np.dot(A,B)でできる。
代数 Pythonでデカルトの正葉線を描く
デカルトの正葉線は\begin{align}x=\frac{3at}{1+t^3},\hspace{5mm}y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{align}で表される方程式である。グラフはとなる。
python Pythonでxが原点周りのときのy=sin xのグラフ
\(y=\sinx\)は\(x\)が十分小さい時、\(y=x\)と近似できることが知られている。一周期分を取り出せば２つのグラフのズレはこんな感じ。たしかに小さいとよく一致している。