代数 約数の総和
\(n\)が\(n=p_1^a p_2^b p_3^c \cdots \)と素因数分解できる時、約数の総和は\begin{align}(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^a)(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^b) ...
代数
代数 代数 合同数と３次方程式が有理数解を持つ条件
合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成す...
代数 合同数と平方数
合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成す...
代数 合同数と楕円曲線の関係
合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば\begin{align...
代数 合同数である条件を定式化
\(n\)が合同数であるとは\begin{align}\begin{cases}x^2+y^2=z^2\\\frac{xy}{2}=n\end{cases}\end{align}となる有理数\(x,y,z\)が存在することである。
代数 5^100000の一の位の数
\(5 \times 5\)が\(25\)であることから\(5\)
代数 2^100の1の位の数
\(2^{100}\)を計算したときの１の位の数を求める。１の位に注目すると\begin{align}2,4,8,6,2,4 \cdots \end{align}と続く。4個の繰り返しなので２５回の繰り返しが現れる。余りはないので１の位の数...
MATLAB/simulink MATLABでベルヌーイ数を求める
これの続きN=6;B=zeros(1,N);B(1,1) = 1;disp(B(1,1));for i = 2:1:N B(1,i) = getBernoulliNumber(i, B); disp(B(1,i));endfun...
代数 部分分数分解の公式 その１
\(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\)は次の関係がある。\begin{align}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}=\frac{n}{n(n-1)} - \frac{n-1}{n(n-1)}=\...
MATLAB/simulink MATLABでスターリングの公式を計算する
スターリングの公式は\begin{align}n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \end{align}で表される。以下コード。stirling(3)function re...
MATLAB/simulink MATLABでディリクレ核を描画する
ディリクレ核\begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n} \cos (kx) = \frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}\right )x}{\sin \frac{x}{2}}\end...
代数 冪乗の和公式
冪乗の和公式は次式で与えられる。\begin{align}\sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{j=0}^{k} i^k \begin{pmatrix}k \\ j\end{pmatrix}B_j \frac{n^{k+1-...
代数 二次方程式の複素解と共有点の場所
二次方程式\begin{align}y=ax^2+bx+c\end{align}について複素解になるのは\begin{align}b^2-4ac<0\end{align}のときである。このときの共有点の場所を調べる。\(x=p+qi\)とす...
代数 二次方程式の解の差
二次方程式\begin{align}ax^2+bx+c=0\end{align}の解は\begin{align}x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}となる。２つの解をそれぞれ\(\alp...
代数 オイラー積と素数
オイラー積\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}(pは素数)\end{align}について\(s=-1\)のとき\begin{a...
C/C++/C# Σの公式を計算する その２
C++でΣの公式を計算する。今回計算する公式は次の通り。\begin{align}\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left \{ \frac{n(n + 1)}{2} \right \}^2\end{align}以下コード
代数 ２点を通る直線の方程式
傾き\(a\)の直線の方程式は\begin{align}y=ax+b\end{align}点\((x_1,y_1)\)を通るので\begin{align}y_1=ax_1+b\end{align}\(b\)を消去して\begin{align...
python numpyで行列の積を計算する
np.dot(A, B)でできる。
代数 Pythonでデカルトの正葉線を描く
デカルトの正葉線は\begin{align}x=\frac{3at}{1+t^3}, \hspace{5mm} y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{align}で表される方程式である。グラフはとなる。
python Pythonでxが原点周りのときのy=sin xのグラフ
\(y=\sin x\)は\(x\)が十分小さい時、\(y=x\)と近似できることが知られている。一周期分を取り出せば２つのグラフのズレはこんな感じ。たしかに小さいとよく一致している。