数学

集合の演算において、次の分配率が成り立つ。\begin{align}A \cup (B \cap C)\end{align}証明\begin{align}x \in A \cup (B \cap C) & \Leftrightarrow (...

\(2^{100}\)を計算したときの１の位の数を求める。１の位に注目すると\begin{align}2,4,8,6,2,4 \cdots \end{align}と続く。4個の繰り返しなので２５回の繰り返しが現れる。余りはないので１の位の数...

対数積分\begin{align}\mathrm{Li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\log t} dt\end{align}は\(t=1\)で特異点を持つのでコーシの主値を使って\begin{align}\mathr...

リーマンの論文によれば、n以下の自然数に含まれる素数の数は\begin{align}\pi (x) =\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\mu(m)}{m} \left ( \mathrm{Li}(x^\frac{1}{m...

\(A\)を２の倍数、\(B\)を３の倍数とすると\(A,B\)の個数はそれぞれ\begin{align}n(A)= \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \\n(B)= \left \lfloo...

\begin{align}\int \left ( \frac{x+2}{x} \right )^2 dx &= \int \left (1 + \frac{2}{x} \right )^2 dx \\&= \int \left ( 1 +...

オイラーの公式より\begin{align}e^{\frac{\pi}{2}i}= \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}=i\end{align}両辺を\(i\)乗して\begin{align}...

コンパスと定規を使って作図できる図形であるとき、その図形は１次もしくは２次方程式で表現できる。

\(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\)は次の関係がある。\begin{align}\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}=\frac{n}{n(n-1)} - \frac{n-1}{n(n-1)}=\...