ChatGPT ChatGPTが生成した数学の問題を解いてみる
\(2x + 5 = 13\)の解を求めよ。 \begin{align}x=4\end{align} 長方形の一辺が4cm、もう一辺が7cmの場合、その面積を求めよ。 \begin{align}28 \mathrm{cm}\end{alig...
ChatGPT 電力 水圧管路を有する水力発電所の出力
水圧管路を有する水力発電所の出力\(P\)を求める。はじめに水力発電所出力\(P\)は流速を\(Q\)、有効落差を\(H\)とすれば \begin{align}P=gQH \eta\end{align} となる。ここで\(g\)は重力加速度...
数学 √2が無理数である証明
\(\sqrt{2}\)が無理数でないと仮定すると\(\sqrt{2}\)は有理数となる。 今互いに素な自然数\(m,n\)を用いると\(\sqrt{2}\)は \begin{align}\sqrt{2}=\frac{m}{n}\end{a...
MATLAB/simulink MATLABでディリクレ核を描画する
ディリクレ核 \begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n} \cos (kx) = \frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}\right )x}{\sin \frac{x}{2}}\en...
制御工学 線形システムが可安定であるとは
線形システム \begin{align}\dot{x} (t) = A x(t) + B u(t)\end{align} について、行列 \begin{align}A-BK\end{align} の固有値の実部が全て負になるような状態フィー...
制御工学 システムが安定であるとは
\( \forall \varepsilon > 0\)に対して\(\delta > 0\)が存在して、\(\| x_0 - x_e \| < \delta \)となる初期状態\(x_0\)について、\(\| x(t) - x_e \| <...
制御工学 自律システムの定義
微分方程式系が\(t\）を含まないとき、すなわち、ある微分方程式系が \begin{align}\dot{x} = f(x(t)) \hspace{5mm} f(x_e) = 0\end{align} のとき、このシステムを自律システムとい...
制御工学 安定性の定義
入力\(u(t)\)と状態ベクトル\(x(t)\)を用いて記述される次のシステムがあるとする。 \begin{align}y=f(x(t),u(t))\end{align} このシステムの内部安定性を調べるために\(u(t)\)を時間関数に...
MATLAB/simulink MATLABでベルヌーイ数を求める
これの続き。 N=10; B=zeros(1,N); B(1,1)=1; for i = 1:1:N B(1,i+1)=getBernoulliNumber(i, B); end B function y = getBernoulliNum...
C/C++/C# C++の正規表現を使ってみる
regexを使えばできる。 以下コード #include <iostream> #include <string> #include <regex> int main() { std::string str = "12345あいうえお"; ...
C/C++/C# C++でベルヌーイ数を求める
ベルヌーイ数を求めるには漸化式を解けばいい。 漸化式は \begin{align}B_0&=1\\B_n&=-\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} C_{k} B_{k}\end{align} とな...
代数 冪乗の和公式
冪乗の和公式は次式で与えられる。 \begin{align}\sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{j=0}^{k} i^k \begin{pmatrix}k \\ j\end{pmatrix}B_j \frac{n^{k+1...
物理 理想気体の状態方程式
理想気体の状態方程式は圧力を\(P\)、体積を\(V\)、物質量を\(n\)、モル気体定数を\(R\)、熱力学温度を\(T\)とすると \begin{align}PV=nRT\end{align} で与えられる。
C/C++/C# 多倍長ライブラリのメモ
多倍長ライブラリmpirを含むデータをtupleにまとめvectorに格納するとうまくいかなくなる。
数学 小数の二乗とルートの外し方
小数\(0.5\)の二乗は\(0.25\)となるが、今回は\(\sqrt{0.25}\)を考える。 これは \begin{align}\sqrt{0.25}&=\sqrt{\frac{25}{100}}\\&=\sqrt{\frac{5^2...
代数 二次方程式の複素解と共有点の場所
二次方程式 \begin{align}y=ax^2+bx+c\end{align} について複素解になるのは \begin{align}b^2-4ac<0\end{align} のときである。このときの共有点の場所を調べる。 \(x=p+q...
物理 圧力の定義
単位面積\(S\)当たりに働く力\(F\)を圧力といい、圧力\(P\)は \begin{align}P=\frac{F}{S}\end{align} となる。単位はパスカル
数学 三角関数のマクロリーン展開を使ったバーゼル問題の解法
三角関数の級数展開を使ってバーゼル問題の値を求める。 \(\sin x\)と\(\frac{\sin x}{x}\)をマクロリーン展開する。 \begin{align}\sin x &=x - \frac{x^3}{3!} + \cdots...
数学 ディリクレ核とは
次の関数で得られる数列 \begin{align}D_n(x)=1+2\sum_{k=1}^{n} \cos (kx) = \frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}\right )x}{\sin \frac{x}{2...
C/C++/C# mpirを使ってウィルソンの定理を計算する
ウィルソンの定理は\(p\)が素数ならば \begin{align}(p-1)! \equiv =-1(mod p)\end{align} が成り立つ定理である。今回はwikipediaにある表をmpirを用いて計算した。