√2が無理数である証明

\(\sqrt{2}\)が無理数でないと仮定すると\(\sqrt{2}\)は有理数となる。

今互いに素な自然数\(m,n\)を用いると\(\sqrt{2}\)は

\begin{align}
\sqrt{2}=\frac{m}{n}
\end{align}

と表すことができる。

式変形して

\begin{align}
\sqrt{2}n=m
\end{align}

二乗して

\begin{align}
2n^2=m^2
\end{align}

となり\(m,m^2\)は偶数。

\(m\)は奇数\(\alpha\)を用いて\(m=2 \alpha\)となることから

\begin{align}
2n^2 &=4 \alpha^2 \\
n^2 &=2 \alpha^2 \\
\end{align}

よって\(n,n^2\)は偶数。

ここで\(m,n\)は互いに素な自然数であるため\(m,n\)が互いに偶数になることは仮定に矛盾する。

したがって\(\sqrt{2}\)は無理数。

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