しろねこらぼ

指数関数のときのラプラス変換を考える。ラプラス変換する関数を\(e^{\alpha t}\)とすると\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty e^{\alpha t} \cdot e^{-st} dt\\&=\int...

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。時間関数が\(t\)のときは\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty + \frac{1}{s}...

部分積分を使えば、例えば\begin{align}\int_0^{\infty} t e^{-st} dt = \frac{1}{s^2}\end{align}などの積分を簡単に計算できるようになる。微分可能な関数\(f(x),g(x)\)...

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。定数が\(1\)のときは\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty\\&=\frac{1}{s}\...

RL直列回路の回路方程式はキルヒホッフの法則より\begin{align}E＝Ri+L \frac{di}{dt}\end{align}となる。移項して\(L\)で割れば\begin{align}\frac{di}{dt}=\frac{E-...

いま回路に\begin{align}i(t)=I_{m} \sin (\omega t)\end{align}の電流が流れているとする。コイルの定義式\begin{align}v_{L}=L \frac{di}{dt}\end{align}...

\(a>0,a \neq 1,M>0\)のとき指数\( a^p \)について\begin{align}a^p = M \ \Longleftrightarrow \ \log_{a} M = p\end{align}となる関係を考える事がで...

これの続き。偏差の和は\(0\)となるので平均も\(0\)になる。そこで偏差の二乗平均を考えれば\begin{align}\sigma^2=V=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2\end{ali...

あるデータ\begin{align}x=\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}\end{align}がある。通常このデータの平均\(\mu\)は\begin{align} \mu= E＝\frac{1}{n} \sum_{i=1}^...

定積分を計算する。微分して関数\(f(x)\)となるような関数\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。たとえば\begin{align}(x^2)' = 2x\end{align} であれば\(F(x)=x^2,f(x)=2x\...

連続する４つの整数の積を考える。最も小さい数を\(a\)とすると\begin{align}x&=a (a+1) (a+2) (a+3)\\&= (a^2 +3a)(a^2+3a+2) \\&= (a^2 +3a)^2+2(a^2+3a)\e...

和集合を定義して性質を調べる。今集合\(A,B\)について\begin{align}A \cup B = \left \{ x | x \in A \ \mathrm{or} \ x \in B \right \}\end{align}が成...