RL直列回路の回路方程式を解く

RL直列回路の回路方程式はキルヒホッフの法則より

\begin{align}
E＝Ri+L \frac{di}{dt}
\end{align}

となる。移項して\(L\)で割れば

\begin{align}
\frac{di}{dt}=\frac{E-Ri}{L}
\end{align}

両辺を\(E-Ri\)で割り、

\begin{align}
\frac{1}{E-Ri} di=\frac{1}{L} dt
\end{align}

両辺の分母を\(R\)で割り、その後\(dt\)を乗じて積分して整理すると

\begin{align}
\int \frac{1}{i-\frac{E}{R}} di=- \int \frac{R}{L} dt
\end{align}

\begin{align}
\log \left| i-\frac{E}{R} \right | + C_{1} =- \frac{R}{L} t+C_{2}
\end{align}

\begin{align}
\left| i-\frac{E}{R} \right |=e^{- \frac{R}{L} t + C_3}
\end{align}

\begin{align}
i= \frac{E}{R} \pm e^{C_3} e^{- \frac{R}{L} t }
\end{align}

ここで\(C=\pm e^{C_3}\)と置くと

\begin{align}
i= \frac{E}{R} +C e^{- \frac{R}{L} t }
\end{align}

\(t=0\)で\(i=0\)より

\begin{align}
C= -\frac{E}{R}
\end{align}

これより

\begin{align}
i = \frac{E}{R} -\frac{E}{R} e^{- \frac{R}{L} t } = \frac{E}{R} \left (1- e^{- \frac{R}{L} t } \right )
\end{align}

を得る。