しろねこらぼ

ベクトル関数の微分\(A(t)\)の微分係数は\begin{align}\frac{dA(t)}{dt}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{A(t + \Delta t)-A(t)}{\Delta t}\end{ali...

畳み込み積分のラプラス変換は次のようになる。\begin{align} \mathcal{L}&=\int_0^{\infty}e^{-st}\int_0^tf(u)g(t-u)dudt \\&=\int_0^{\infty}f(u)\in...

定義に従い計算すれば良い。\(a,b\)を定数とすると\begin{align}\mathcal{L} & =\lim_{p \to \infty} \int_0^p e^{-st} (a f(t) + b g(t)) dt \\& =a...

ある実数\(t\)によってベクトル\(A\)が定まる時、これをベクトル関数といい\(A(t)\)と書く。\(A(t)\)の変数が\(A_x,A_y,A_z\)であれば\begin{align}A(t)=A_x(t) \boldsymbol{...

合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成す...

合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\displaystyle \frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成す...

回路に電気エネルギーを供給する素子を電源という。外部にどんな負荷を接続しても一定の電流を出力する電源を電圧源という。理想電圧源の内部抵抗は零である。電圧源に接続された抵抗を小さくすることを考える。オームの法則より、\begin{align}...

区間\((0,\infty]\)で定義された関数\(f(t)\)について次の無限積分\begin{align}\lim_{T \to \infty} \int^{T}_{0} e^{-st} f dt = \int_0^\infty e^{...

合同数の定義\begin{align} \begin{cases}X^2+Y^2=Z^2\\\frac{XY}{2}=n\end{cases}\end{align}楕円曲線の関係を求める。合同数の定義を平方完成すれば\begin{align...

\(n\)が合同数であるとは\begin{align}\begin{cases}x^2+y^2=z^2\\\frac{xy}{2}=n\end{cases}\end{align}となる有理数\(x,y,z\)が存在することである。

３辺の辺の長さが有理数であるような直角三角形の面積を合同数という。例：底辺を\(\frac{3}{2}\)、高さを\(\frac{20}{3}\)とすると斜辺は\begin{align}c&=\sqrt{\left ( \frac{3}{2...

もし～だったらどうなるか

\(5 \times 5\)が\(25\)であることから\(5\)

集合の演算において、次の分配率が成り立つ。\begin{align}A \cup (B \cap C)\end{align}証明\begin{align}x \in A \cup (B \cap C) & \Leftrightarrow (...

\(2^{100}\)を計算したときの１の位の数を求める。１の位に注目すると\begin{align}2,4,8,6,2,4 \cdots \end{align}と続く。4個の繰り返しなので２５回の繰り返しが現れる。余りはないので１の位の数...

電荷分布\(\rho(\boldsymbol{r})\)が与えられているときの\(\boldsymbol{r}\)だけ離れた場所の静電ポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{r})\)は\begin{align}\phi(\bol...

点電荷\(Q\)から\(\boldsymbol{r}\)だけ離れた場所の静電ポテンシャル\(\phi(\boldsymbol{r})\)は\begin{align}\phi(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon |\b...

対数積分\begin{align}\mathrm{Li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\log t} dt\end{align}は\(t=1\)で特異点を持つのでコーシの主値を使って\begin{align}\mathr...