解析

\(x,y,z\)について偏微分可能な関数\(f\)について\begin{align}\mathrm{rot} f &= \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} &\boldsymbol{j} &\boldsymbol{...

\(x,y,z\)について偏微分可能な関数\(f\)について\begin{align}\mathrm{div} f = \frac{\partial f_i}{\partial x} + \frac{\partial f_j}{\parti...

\(x,y,z\)について偏微分可能な関数\(f\)について\begin{align}\mathrm{grad} f = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} +\frac{\partia...

指数関数のときのラプラス変換を考える。ラプラス変換する関数を\(e^{\alpha t}\)とすると\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty e^{\alpha t} \cdot e^{-st} dt\\&=\int...

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。時間関数が\(t\)のときは\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty + \frac{1}{s}...

部分積分を使えば、例えば\begin{align}\int_0^{\infty} t e^{-st} dt = \frac{1}{s^2}\end{align}などの積分を簡単に計算できるようになる。微分可能な関数\(f(x),g(x)\)...

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。定数が\(1\)のときは\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty\\&=\frac{1}{s}\...

オイラーの公式\begin{align}e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\end{align}から加法定理を計算することができる。いま\(\theta_1,\theta_2\)の合成を考え...

指数関数\(e^x\)のマクローリン展開は\begin{align}e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \cdots\end{align}で与えられる。いま\(x= j \theta \)とすれば\...

実数の範囲では関連のなかった三角関数と指数関数だが、オイラーの公式を使うと複素数の範囲でその関係を示すことができる。まず、オイラーの公式は\begin{align}e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin \...

関数\(f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \)が次の不等式\begin{align}||f||_{\infty}=\sup_{t \geq 0} |f(t)| < \infty\end{align}が成り立つと...

非負の実数の集合\begin{align}\mathbb{R}^{+} = [ 0, \infty )\end{align} を定義する。いま、積分可能な関数\(f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \)が定義され...