解析

数学

rotを計算する

\(x,y,z\)について偏微分可能な関数\(f\)について \begin{align}\mathrm{rot} f &= \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} &\boldsymbol{j} &\boldsymbol...
数学

divを計算する

\(x,y,z\)について偏微分可能な関数\(f\)について \begin{align}\mathrm{div} f = \frac{\partial f_i}{\partial x} + \frac{\partial f_j}{\part...
数学

gradを計算する

\(x,y,z\)について偏微分可能な関数\(f\)について \begin{align}\mathrm{grad} f = \frac{\partial f}{\partial x} \boldsymbol{i} +\frac{\parti...
数学

指数関数のラプラス変換

指数関数のときのラプラス変換を考える。ラプラス変換する関数を\(e^{\alpha t}\)とすると \begin{align}F(s)&=\int_0^\infty e^{\alpha t} \cdot e^{-st} dt\\&=\in...
数学

時間関数がべき乗のときのラプラス変換

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。時間関数が\(t\)のときは \begin{align}F(s)&=\int_0^\infty t \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty + \frac{1}{s...
数学

部分積分の公式を導出する

部分積分を使えば、例えば \begin{align}\int_0^{\infty} t e^{-st} dt = \frac{1}{s^2}\end{align} などの積分を簡単に計算できるようになる。 微分可能な関数\(f(x),g(x...
数学

時間関数が定数のラプラス変換

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。定数が\(1\)のときは \begin{align}F(s)&=\int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty\\&=\frac{1}{s}...
python

外部関数で定義された無限級数を計算する

これの続き。無限級数の一般項を外部関数化して与えると次のようになる。 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt def func(n): return ((-1) ** ...
python

無限級数を計算する その1

次の無限級数を計算する。 \begin{align}\log 2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4} \cdo...
解析

オイラーの公式から加法定理を導出する

オイラーの公式 \begin{align}e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\end{align} から加法定理を計算することができる。いま\(\theta_1,\theta_2\)の合成を...
MATLAB/simulink

MATLABで簡易逆ガンマ関数を実装する

ガンマ関数を使えば階乗を一般化でき便利である。 \begin{align}\Gamma(n+1)=n!\end{align} 今回は\(n!\)となる\(x\)の値をmatlabを使って求める。 n=8256; f=@(x) abs(n-g...
数学

オイラーの公式とマクローリン展開

指数関数\(e^x\)のマクローリン展開は \begin{align}e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ \cdots\end{align} で与えられる。 いま\(x= j \theta \)とす...
数学

オイラーの公式を使った指数関数と三角関数の複素数表示

実数の範囲では関連のなかった三角関数と指数関数だが、オイラーの公式を使うと複素数の範囲でその関係を示すことができる。 まず、オイラーの公式は \begin{align}e^{i \theta } = \cos \theta + i \sin...
MATLAB/simulink

ガウスニュートン法による関数フィッティング

いくつかのデータ群から関数フィッティングを行う手法はいくつかあり、ガウスニュートン法はその一つである。 今回は調べていたら偶然見つけたガウスニュートン法のMATLABスクリプトを修正、関数化して使いやすくてみた。 プログラムは以下の通り。 ...
数学

L∞ 関数空間

関数\(f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \)が次の不等式 \begin{align}||f||_{\infty}=\sup_{t \geq 0} |f(t)| < \infty\end{align} が成り立...
数学

Lp 関数空間

非負の実数の集合 \begin{align}\mathbb{R}^{+} = [ 0, \infty )\end{align} を定義する。いま、積分可能な関数\(f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \)が定義さ...