【代数】二重根号の外し方

次のような

\begin{align}
\sqrt{a \pm b\sqrt{c}}
\end{align}

根号の中に根号があるような式を二重根号という。二重根号は\(A>B\)のとき

\begin{align}
\sqrt{a+b\sqrt{c}}=&\sqrt{(A+B)+2 \sqrt{AB}}\\
&=\sqrt{(\sqrt{A}+\sqrt{B})^2}\\
&=\left |\sqrt{A}+\sqrt{B} \right |\\
&=\sqrt{A}+\sqrt{B}
\end{align}

同様に負のとき

\begin{align}
\sqrt{a-b\sqrt{c}}=&\sqrt{(A+B)-2 \sqrt{AB}}\\
&=\sqrt{(\sqrt{A}-\sqrt{B})^2}\\
&=\left |\sqrt{A}-\sqrt{B} \right |\\
&=\sqrt{A}-\sqrt{B}
\end{align}

のように変換することで根号を外すことができる。