【解析】導関数と微分

今\(y=3x^2\)について\(x\)に近い点\(x+h\)を考えると

\begin{align}
y=3 \times (x+h)^2=3x^2+6xh+4h^2
\end{align}

これより傾きは

\begin{align}
\frac{3x^2+6xh+4h^2-3x^2}{x+h-x}=6x+4h
\end{align}

ここで\(h\)が限りなく\(0\)に近づく、すなわち\(h \to 0\)であれば傾きは\(3x\)となる。

一般には

\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align}

となり、この式がある極限に近づくのであれば\(f(x)\)は\(x\)について微分可能であるといい、この極限を\(f(x)\)の\(x\)における微分係数という。

微分係数を\(f'(x)\)とすれば

\begin{align}
f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align}

と表される。

ある範囲の\(x\)について、\(h\)が\(0\)に近づくときそれぞれが極限を持つとき、\(f'(x)\)を\(f(x)\)の導関数という。

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