数学

時間関数が定数のときのラプラス変換を考える。定数が\(1\)のときは\begin{align}F(s)&=\int_0^\infty 1 \cdot e^{-st} dt\\&=\left _0^\infty\\&=\frac{1}{s}\...

\(a>0,a \neq 1,M>0\)のとき指数\( a^p \)について\begin{align}a^p = M \ \Longleftrightarrow \ \log_{a} M = p\end{align}となる関係を考える事がで...

これの続き。偏差の和は\(0\)となるので平均も\(0\)になる。そこで偏差の二乗平均を考えれば\begin{align}\sigma^2=V=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2\end{ali...

あるデータ\begin{align}x=\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}\end{align}がある。通常このデータの平均\(\mu\)は\begin{align} \mu= E＝\frac{1}{n} \sum_{i=1}^...

定積分を計算する。微分して関数\(f(x)\)となるような関数\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。たとえば\begin{align}(x^2)' = 2x\end{align} であれば\(F(x)=x^2,f(x)=2x\...

連続する４つの整数の積を考える。最も小さい数を\(a\)とすると\begin{align}x&=a (a+1) (a+2) (a+3)\\&= (a^2 +3a)(a^2+3a+2) \\&= (a^2 +3a)^2+2(a^2+3a)\e...

和集合を定義して性質を調べる。今集合\(A,B\)について\begin{align}A \cup B = \left \{ x | x \in A \ \mathrm{or} \ x \in B \right \}\end{align}が成...

和共通部分を定義して性質を調べる。今集合\(A,B\)について\begin{align}A \cap B = \left \{ x | x \in A \ \mathrm{and} \ x \in B \right \}\end{align...

ルジャンドル予想とはある任意の自然数\(n\)について\begin{align}n^2 \leq p_1 \leq \cdots \leq p_n\leq(n+1)^2\end{align}となるような素数\(p_1,\cdots,p_n\...

これの続き。オイラーの公式\begin{align}e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\end{align}から倍角の公式を計算することができる。いま\(\theta_1=\theta_2 ...

\( y=f(x)^{g(x)} \)などの形をとる関数の微分を行う場合対数微分法を使うと簡単になることがある。この形の対数微分を考える。両辺の対数をとり\begin{align}\log{y(x)}&=g(x)\log{f(x)}\end...