ガウス・ルジャンドル法を用いた円周率計算

これの続き。ガウス・ルジャンドル法を使うとより早く円周率計算ができる。

初期値を

$$\begin{align} a_0=1 \hspace{10mm} b_0=\frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{10mm} t_0=\frac{1}{4} \hspace{10mm} p_0 = 1 \end{align}$$

を与えて次を反復計算すればいい。

$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{a_n + b_n}{2}\\ b_{n+1} & = \sqrt{a_{n} b_{n}} \\ t_{n+1} & = t_n – p_n (a_n – a_{n+1})^2\\ p_{n+1} & = 2 p_n \end{align}$$

その後得られたパラメータを使えば

$$\begin{align} \pi \approx \frac{(a+b)^2}{4t} \end{align}$$

で近似できる。