忘却係数付き逐次最小二乗法

忘却係数付き逐次最小二乗法とは次のようなものである。

・評価関数

\begin{align}
J_{N}= \sum_{i=1}^{N} \rho^{N-i} \left ( y_{i} – z_{i}^{T} \theta \right )^2
\end{align}

・最小二乗推定値

\begin{align}
\hat{\theta}_{N} =\left ( \sum_{i=1}^{N} \rho^{N-i} z_{i} z_{i}^{T} \right)^{-1} \sum_{i=1}^{N} \rho^{N-i} z_{i} y_{i}
\end{align}

・逐次推定アルゴリズム

\begin{align}
\hat{\theta}_{N} &= \hat{\theta}_{N-1} + \dfrac{P_{N-1} z_{N} }{\rho + z_{N}^{T} P_{N-1} z_{N}} \left ( y_{N} – z_{i}^{T} \hat{\theta}_{N-1} \right) \\[1.5ex]
P_{N} &= \frac{1}{\rho} \left ( P_{N-1} – \dfrac{P_{N-1} z_{N} z_{N}^{T} P_{N-1}}{\rho + z_{N}^{T} P_{N-1} z_{N}} \right)
\end{align}

\(\rho\)を忘却係数といい、\(0.95 \sim 0.999\)程度の範囲で設定する。\(\rho=1\)の時は重みがないことを示す。

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