現代制御の視点から見るP制御による定常偏差

線形時不変な状態方程式

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)
\end{align}

にP制御を施した場合の定常偏差について考える。

いま、フィードバック則を

\begin{align}
u(t)=F(t)(r-y(t))
\end{align}

を定めると閉ループ系は

\begin{align}
\dot{x}(t)=(A-BFC)x(t) + BF r
\end{align}

となり、解は

\begin{align}
x(t)&=e^{(A-BFC)t} x_{0} + \int_0^{t} e^{(A-BFC)(t-\tau)} BF r d \tau \\
&=e^{(A-BFC)t} x_{0} – (A-BFC)^{-1} \left (I-e^{(A-BFC)t} \right ) BF r
\end{align}

これから\(y(t)\)は

\begin{align}
y(t)=C e^{(A-BFC)t} x_{0} – C (A-BFC)^{-1} \left (I-e^{(A-BFC)t} \right ) BF r
\end{align}

偏差は

\begin{align}
e(t)&=r(t)-y(t)\\
&=- C e^{(A-BFC)t} x_{0} + \left ( I + C (A-BFC)^{-1} \left (I-e^{(A-BFC)t} BF \right ) \right )r
\end{align}

\(t=\infty\) とすると

\begin{align}
e(\infty)=\left ( I + C (A-BFC)^{-1} BF \right )r
\end{align}

を得る。この結果が現代制御の視点から見た定常偏差になる。