伝達関数\(G(s)\)
\begin{align}
G(s) =\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K_{p} (s – \sigma_{1})(s – \sigma_{2}) \cdots (s – \sigma_{m})}{(s – \lambda_{1})(s – \lambda_{2}) \cdots (s – \lambda_{n})}
\end{align}
のシステムにステップ入力を加えたときの出力\(Y(s)\)は
\begin{align}
Y(s) = \frac{K_{p} (s – \sigma_{1})(s – \sigma_{2}) \cdots (s – \sigma_{m})}{(s – \lambda_{1})(s – \lambda_{2}) \cdots (s – \lambda_{n})} \cdot \frac{1}{s}
\end{align}
である。これを部分分数分解すれば
\begin{align}
Y(s) = \frac{a_{0}}{s} + \frac{a_{1}}{s-\lambda_{1}} + \frac{a_{2}}{s-\lambda_{2}} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{s-\lambda_{n-1}} + \frac{a_{n}}{s-\lambda_{n}}
\end{align}
を得る。ここで\(a_{0} ,a_{1} ,\cdots ,a_{n-1} ,a_{n}\)は部分分数分解により決まる定数である。このシステムへのステップ応答はこの結果を逆ラプラス変換をすることで求まり
\begin{align}
y(t) = a_{0} + a_{1}e^{\lambda_{1}t} + a_{2}e^{\lambda_{2}t} + \cdots + a_{n-1}e^{\lambda_{n-1}t} + a_{n} e^{\lambda_{n}t}
\end{align}
となる。これよりシステムの安定問題は変数である項\(e^{\lambda_{i}}\)が収束するかに置き換えらる。極を含む項\(e^{\lambda_{i}}\)の収束性を調べるにはオイラーの公式を用いて
\begin{align}
e^{\lambda_{i}t} = e^{\sigma_{i} t} \left ( \cos \omega_{i} t + j \sin \omega_{i} t \right )
\end{align}
と書き換えればいい。ここで複素数\(\lambda_{i}\)は\(\lambda_{i}=\sigma_{i} + j \omega_{i}\)としている。この結果よりすべての極の実部\(\sigma_{i}\)が負であれば，システムは時間の経過とともに\(a_{0}\)に収束する．
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