集合の分配律　１

集合の演算において、次の分配率が成り立つ。

\begin{align}
A \cup (B \cap C)
\end{align}

証明

\begin{align}
x \in A \cup (B \cap C) & \Leftrightarrow (x \in A) \lor (x \in B \cup C) \\
& \Leftrightarrow (x \in A) \lor ((x \in B) \land (x \in C)) \\
& \Leftrightarrow ((x \in A) \lor (x \in B)) \land ( (x \in A) \lor (x \in C)) \\
& \Leftrightarrow (x \in A \cup B) \land (x \in A \cup C) \\
& \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \\
\end{align}