python 【プログラミング】Sympyを使った内積と外積のシンボリック演算
Sympyを使ってシンボリック演算をする。適当な行列を用意して内積と外積をした。 以下ソースコード import sympy sympy.var("a:z") matrix1 = sympy.Matrix() matrix2 = sympy...
代数
python python 【プログラミング】Sympyを使った二次方程式の解法
二次方程式の解の公式は \begin{align}x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align} Sympyを使うと二次方程式を簡単に解くことができる。 import sympy x=sympy....
代数 【代数】一次方程式の定義
次のような \begin{align}ax+b=0(a \neq 0)\end{align} \(x\)についての最高次数が１である方程式を一次方程式という。
代数 【代数】二次方程式の定義
次のような \begin{align}ax^2+bx+c=0(a \neq 0)\end{align} \(x\)についての最高次数が２である方程式を二次方程式という。 注釈中の\(a \neq 0\)がなければ\(a = 0\)となる場合...
C/C++/C# 【C言語】Σの公式を計算する
C言語で\(\Sigma\)の公式を計算する。今回計算する公式は次の通り。 \begin{align}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)\end{align} 以下コード。 #in...
C/C++/C# 【C言語】前に書いたコラッツ予想のプログラムを再帰関数を使って書き直す
コラッツ予想についてはここを参照。関数「Collatz」を定義して書き直した。 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int Collatz(int); int main(void) { int nu...
C/C++/C# 【C言語】二項定理を実装する
二項定理は \begin{align}(x+y)^{n}= \mathrm{{}_{n} C_{0}} x^{n}y^{0}+ \mathrm{{}_{n} C_{1}} x^{n-1} y^{1}+ \mathrm{{}_{n}C_{2}...
代数 【代数】二次方程式と黄金比
二次方程式の解 \begin{align}x^2-x-1=0\end{align} には \begin{align}x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\end{align} のように黄金比が現れる。
代数 【代数】群の定義
集合\(S\)とその集合上で定義された演算\(f\)が次の３つの性質を持つ時、その集合と演算の組み合わせ\( (S,f)\)を群という。 結合法則 \( (a \circ b) \circ c =a \circ ( b \circ c ) ...
代数 二次方程式の解の公式
二次方程式の解の公式を求める。次のような二次方程式について \begin{align}ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)\end{align} 平方完成すれば \begin{align}a \left ( x^2+\frac{b}...
代数 連続する4つの整数の積
連続する４つの整数の積を考える。最も小さい数を\(a\)とすると \begin{align}x&=a (a+1) (a+2) (a+3)\\&= (a^2 +3a)(a^2+3a+2) \\&= (a^2 +3a)^2+2(a^2+3a)\...
python Pythonで転置行列を計算する
行列の転置とは \begin{align}A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\end{align} の時 \begin{align} ^{t} \! A =\begin{pmatrix...
MATLAB/simulink フェルマーの最終定理をMATLABで計算してみる
フェルマーの最終定理とは \begin{align}z^n=x^n+y^n (n>2)\end{align} を満たす自然数の組は存在しないというものである。\(n=2\)の場合はピタゴラスの定理となり解が存在する。この場合の解は直角三角形...
MATLAB/simulink Sherman–Morrison–Woodburyの公式をMATLABで計算する
Sherman–Morrison–Woodburyの公式とは \begin{align}(A+BDC)^{−1}=A^{−1}−A^{−1} B (D^{−1}+CA^{−1}B)^{−1} CA^{−1}\end{align} である。今...
代数 行列の指数関数の計算
とくに現代制御においては行列の指数関数を計算する場面が現れる。行列の指数関数は \begin{align} e^{A}, \exp A, \end{align} で表される。いま、行列の指数関数を \begin{align} e^A=\su...
代数 代数方程式の解の個数と代数学の基本定理
\(n\)次の代数方程式 \begin{align}a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0(a_n, \cdots ,a_0 \in \mathbb{C},a_{n} \neq 0)...
代数 集合間の写像の定義
\(f\)が集合\(S\)から集合\(T\)への写像であるとは、 \begin{align}f:S \to T \hspace{10mm} S \xrightarrow{f} T\end{align} などと表す。これを一つの図で \beg...
代数 2×2の行列式
\begin{align}\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\end{align} の行列式は \begin{align}ad-bc\end{align}
代数 階乗の桁数とスターリングの公式
計算をする際、どの程度の大きさを持つ数であるか調べたい時がある。階乗の計算は\(n\)が小さな数でも急速に巨大な数となるため、例えば\(100!\)などを直接計算して求めるのは現実的ではない。 試しに階乗の対数を取ってみると \begin{...
代数 ガンマ関数を定義する
ガンマ関数\(\Gamma(z)\)を次のように定義する。 \begin{align}\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z)...