【解析】複素数の定義

二次方程式の解の公式

\begin{align}
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

の判別式

\begin{align}
D=b^2-4ac
\end{align}

が負になるとき実数の範囲では解が存在しない。これを解決するために二乗して\(-1\)となる数を導入しその数を\(i\)とすると\(i\)は

\begin{align}
i=\sqrt{-1}
\end{align}

と表すことができる。この\(i\)を虚数単位といい、虚数単位を含む数を複素数\(z\)という。

\(D<0\)のとき解の公式は

\begin{align}
x&=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{D}i}{2a}
\end{align}

となる。二つある解のうち一つに注目すれば

\begin{align}
x=\frac{-b + \sqrt{D}i}{2a}=-\frac{b }{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}i
\end{align}

となる。上式は虚数単位が付いている数と付いていない数に分けることができ、それらはそれぞれ

\begin{align}
-\frac{b }{2a} \cdots \mbox{実部}\hspace{10mm} \frac{\sqrt{D}}{2a}i \cdots \mbox{虚部}
\end{align}

と呼ばれる。実部と虚部は次のように表すと便利である。

\begin{align}
\mbox{Re} \ x = -\frac{b }{2a} \cdots \mbox{実部}\hspace{10mm} \mbox{Im} \ x=\frac{\sqrt{D}}{2a}i \cdots \mbox{虚部}
\end{align}

\(\mbox{Re} \ x=0\)であるとき、複素数\(x\)は純虚数であるという。

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