累乗と階乗の0の解釈とグラフ

累乗と階乗の0についてグラフから考察する。まず累乗は

\begin{align}
f(x)=a^x
\end{align}

で定義される関数である。\(x^0\)について調べたいのでその他の値を求めれば

\begin{align}
f(2)&=2^2 =4\\
f(3)&=2^3 =8\\
f(4)&=2^4 =16
\end{align}

これをグラフにすれば

となる。横軸\(x\)が\(0\)の点を見れば\(1\)となっており、その前後も滑らかに\(1\)へ収束している様子がわかる。

次にガンマ関数を用いて階乗を計算する。ガンマ関数は

\begin{align}
g(x)=n!=\Gamma (n+1)
\end{align}

で定義される。（細かい定義は無視）

これをグラフにすると

こちらも\(n=0\)のときも滑らかに\(1\)へ収束している様子がわかる。このことから

\begin{align}
0!&=1 \\
x^0&=1
\end{align}

と定義するのが自然になる。