正五角形の対角線の長さ

正五角形の１辺の長さを１とすると正五角形の対角線の長さ$a$は余弦定理より

$$\begin{align} a^2&=1^2 + 1^2 – 2 \times 1 \times 1 \times \cos 108\\ &= 2 – 2 \times \frac{ 1 – \sqrt{5} } {4}\\ &= \frac{ 3 + \sqrt{5} } {2}\\ \end{align}$$

したがって

$$\begin{align} a&= \sqrt{\frac{ 6 + 2\sqrt{5} } {4} } \\ &= \frac{ 1 + \sqrt{5} } {2} \\ \end{align}$$

を得る。