正五角形の対角線の長さ

正五角形の１辺の長さを１とすると正五角形の対角線の長さ\(a\)は余弦定理より

\begin{align}
a^2&=1^2 + 1^2 – 2 \times 1 \times 1 \times \cos 108\\
&= 2 – 2 \times \frac{ 1 – \sqrt{5} } {4}\\
&= \frac{ 3 + \sqrt{5} } {2}\\
\end{align}

したがって

\begin{align}
a&= \sqrt{\frac{ 6 + 2\sqrt{5} } {4} } \\
&= \frac{ 1 + \sqrt{5} } {2} \\
\end{align}

を得る。