実効値を導出する

電圧もしくは電流の瞬時式

\begin{align}
f \left( t \right) = f_m \sin \omega t
\end{align}

から実効値を求める。二乗平均平方根

\begin{align}
f_{rms} &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T \left( f_m \sin \omega t \right)^2 dt}\\[1.5ex]
&= \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T f^2_m \sin^2 \omega t dt}\\[1.5ex]
&= \sqrt{\frac{f^2_m}{T} \int_0^T \sin^2 \omega t dt}\\[1.5ex]
&= \sqrt{\frac{f^2_m}{T} \int_0^T \frac{1-\cos 2 \omega t}{2} dt}\\[1.5ex]
&= \sqrt{\frac{f^2_m}{2T} \Biggr[ t- \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega} \Biggl] _0^T}\\[1.5ex]
&= \sqrt{\dfrac{f^2_m}{2T} \left( T – \frac{\sin 2 \omega T}{2 \omega} \right) }
\end{align}

したがって

\begin{align}
f_{rms} &= \frac{f_m}{\sqrt{2}}
\end{align}