RC直列回路の過渡現象

RC直列回路の回路方程式は

$$\begin{align} E=Ri(t)+\frac{1}{C} \int i(t) dt \end{align}$$

電流の定義

$$\begin{align} i(t)=\frac{dq(t)}{dt} \end{align}$$

より

$$\begin{align} E=R \frac{dq(t)}{dt}+\frac{q(t)}{C} \end{align}$$

定常解を$q_s(t)$とする。このとき$\frac{d q_s(t)}{dt} =0$より

$$\begin{align} q_s(t)=CE \end{align}$$

過渡解を$q_t(t)$とする。このとき$E =0$より

$$\begin{align} q_{t}(t)=Ae^{-\frac{1}{C R} t} \end{align}$$

一般解$q(t)=q_s(t)+q_t(t)$より

$$\begin{align} q(t)=CE+A e^{ – \frac{1}{CR} t} \end{align}$$

初期条件を$q(0)=0$とすれば

$$\begin{align} A= – CE \end{align}$$

したがって

$$\begin{align} q(t)=CE(1- e^{ – \frac{1}{CR} t}) \end{align}$$

微分すれば

$$\begin{align} i(t)=\frac{E}{R} e^{ – \frac{1}{CR} t} \end{align}$$