RC直列回路の過渡現象

RC直列回路の回路方程式は

\begin{align}
E=Ri(t)+\frac{1}{C} \int i(t) dt
\end{align}

電流の定義

\begin{align}
i(t)=\frac{dq(t)}{dt}
\end{align}

より

\begin{align}
E=R \frac{dq(t)}{dt}+\frac{q(t)}{C}
\end{align}

定常解を\(q_s(t)\)とする。このとき\(\frac{d q_s(t)}{dt} =0\)より

\begin{align}
q_s(t)=CE
\end{align}

過渡解を\(q_t(t)\)とする。このとき\(E =0\)より

\begin{align}
q_{t}(t)=Ae^{-\frac{1}{C R} t}
\end{align}

一般解\(q(t)=q_s(t)+q_t(t)\)より

\begin{align}
q(t)=CE+A e^{ – \frac{1}{CR} t}
\end{align}

初期条件を\(q(0)=0\)とすれば

\begin{align}
A= – CE
\end{align}

したがって

\begin{align}
q(t)=CE(1- e^{ – \frac{1}{CR} t})
\end{align}

微分すれば

\begin{align}
i(t)=\frac{E}{R} e^{ – \frac{1}{CR} t}
\end{align}