線形時不変な状態方程式
\begin{align} \dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)&=Cx(t)+Du(t) \end{align}
について
\begin{align} \mathrm{rank} M_c = n \end{align}
が成り立っているとする。可制御性グラム行列W_c
\begin{align} W_c=\int_{t_0}^{t_f} e^{A(t_0-\tau)} BB^{T} \left \{e^{A(t_0-\tau)} \right \} d \tau \end{align}
において任意のベクトルvに対し
\begin{align} v W_{c} v^{T} =\int_{t_{0}}^{t_{f}} \left [ B^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v \right ]^{T} B^{T} \left \{e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v d \tau \end{align}
P(\tau)=B^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T}と置けば
\begin{align} v W_{c} v^{T} =\int_{t_{0}}^{t_{f}} (P(\tau)v)^{T} (P(\tau)v) d \tau = | P v \|^{2} \geq 0 \end{align}
となり、W_cは準正定となる。もしW_cが正定でなければ、適当な零にではないv_1について
\begin{align} B^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v_{1} = 0 \end{align}
これを連続微分して
\begin{align} B^{T} (A^{i})^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v_{1} = 0 \hspace{5mm} (i=0,1,\cdots ,n-1) \end{align}
行列で表現すれば
\begin{align} \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v_{1} = 0 \end{align}
これより明らかに矛盾するためW_cは正定
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