線形時不変な状態方程式
\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)+Du(t)
\end{align}
について
\begin{align}
\mathrm{rank} M_c = n
\end{align}
が成り立っているとする。可制御性グラム行列\(W_c\)
\begin{align}
W_c=\int_{t_0}^{t_f} e^{A(t_0-\tau)} BB^{T} \left \{e^{A(t_0-\tau)} \right \} d \tau
\end{align}
において任意のベクトル\(v\)に対し
\begin{align}
v W_{c} v^{T} =\int_{t_{0}}^{t_{f}} \left [ B^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v \right ]^{T} B^{T} \left \{e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v d \tau
\end{align}
\(P(\tau)=B^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T}\)と置けば
\begin{align}
v W_{c} v^{T} =\int_{t_{0}}^{t_{f}} (P(\tau)v)^{T} (P(\tau)v) d \tau = | P v \|^{2} \geq 0
\end{align}
となり、\(W_c\)は準正定となる。もし\(W_c\)が正定でなければ、適当な零にではない\(v_1\)について
\begin{align}
B^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v_{1} = 0
\end{align}
これを連続微分して
\begin{align}
B^{T} (A^{i})^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v_{1} = 0 \hspace{5mm} (i=0,1,\cdots ,n-1)
\end{align}
行列で表現すれば
\begin{align}
\begin{bmatrix}
B & AB & \cdots & A^{n-1}B
\end{bmatrix}^{T} \left \{ e^{A(t_{0}-\tau)} \right \}^{T} v_{1} = 0
\end{align}
これより明らかに矛盾するため\(W_c\)は正定
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