線形時不変システムの可観測性

線形時不変な状態方程式

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)+Du(t)
\end{align}

が不可観測であるとする。不可観測性から求められる異なった二つの初期値を\(x_A(0),x_B(0)\)とすればその解は

\begin{align}
y(t)=Ce^{At} x_A (0) + Du(t) + C \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d \tau \\
y(t)=Ce^{At} x_B (0) + Du(t) + C \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d \tau
\end{align}

これの差分を考えれば

\begin{align}
Ce^{At} \{ x_A (0)-x_B (0) \} = 0
\end{align}

\(z=x_A (0)-x_B (0) \)と置けば

\begin{align}
Ce^{At} z = 0
\end{align}

これを連続微分して

\begin{align}
C A e^{At} z =C A^2 e^{At} z = \cdots = C A^{n-1} e^{At} z =0
\end{align}

\( t=0 \)で

\begin{align}
C z=C A z =C A^2 z = \cdots = C A^{n-1} z =0
\end{align}

これより

\begin{align}
\begin{bmatrix}
C \\ C A \\ C A^2 \\ \vdots \\ C A^{n-1}
\end{bmatrix} z = M_o z = 0
\end{align}

\(x_A (0)-x_B (0) \neq 0\)となるためには

\begin{align}
\mathrm{rank} M_o < n
\end{align}

これよりシステムが可観測であるためには

\begin{align}
\mathrm{rank} M_o = n
\end{align}