直達行列を含む線形時不変な状態方程式の出力を求める

線形時不変な状態方程式

\begin{align}
\dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)+Du(t)
\end{align}

の初期値を\(x(0)\)とすればその解は

\begin{align}
x(t)=e^{At} x(0) + \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d \tau
\end{align}

と求めることができる。よって出力\(y(t)\)は

\begin{align}
y(t)=Ce^{At} x(0) + Du(t) + C \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d \tau
\end{align}