\(s\)平面から\(z\)平面への変換式は
\begin{align}
\label{S-T transform}
z=e^{sT}
\end{align}
で与えられる．\(z\)平面上の点および\(s\)平面上の点を
\begin{align}
z=z_1+z_2 \hspace{5mm} s=\sigma+j\omega
\end{align}
のように与えると
\begin{align}
z=e^{sT}=e^{(\sigma+j\omega)T}=e^{\sigma T} e^{j\omega T} \\
\end{align}
ここでオイラーの公式より
\begin{align}
z=e^{\sigma T} (\cos \omega T + j \sin \omega T)
\end{align}
を得る．
したがって\(s\)平面上への変換は次のように得られる．
\begin{align}
\sigma=\displaystyle \frac{1}{2T} \log(z_1^2+z_2^2) \hspace{5mm} \omega=\displaystyle \frac{1}{T} \tan^{-1} \frac{z_2}{z_1}
\end{align}
\(z\)平面上への変換は次のように得られる．
\begin{align}
z_1=e^{\sigma T} \cos \omega T \hspace{5mm} z_2=e^{\sigma T} \sin \omega T
\end{align}
この変換を用いれば\(s\)平面上の虚軸は\(z\)平面上の単位円に写される．
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