バネマスダンパー系の状態空間モデルを求める

バネマスダンパー系の状態空間モデルを求める。バネマスダンパー系の運動方程式は

\begin{align}
u(t) = M \frac{d^2y(t)}{dt^2} + B \frac{dy(t)}{dt} + Ky(t)
\end{align}

で与えられる。ここで、\(M\)は質量、\(C\)は減衰係数、\(k\)はばね定数、\(x(t)\)は変位である。

状態変数として

\begin{align}
x_{1}(t) = x(t) \hspace{5mm} x_{2}(t) = \dot{x}_{1} (t)
\end{align}

とおくと

\begin{align}
\frac{d}{dt} x_{1} &= \dot{y}(t) = x_{2} (t)\\
\frac{d}{dt} x_{2} &= \ddot{y}(t) = – \frac{B}{M} \dot{y}(t) -\frac{K}{M} (t) + \frac{1}{M} u(t)\\
&=\frac{K}{M} x_{1} (t) – \frac{B}{M} x_{2} (t) + \frac{1}{M} u (t)
\end{align}

より状態方程式は

\begin{align}
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
– \frac{K}{M} & -\frac{B}{M}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
0 \\
\frac{1}{M}
\end{pmatrix}u(t)
\end{align}

出力方程式は

\begin{align}
y(t)=
\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{pmatrix}
\end{align}

となる。