二次遅れシステムの基本形

二次遅れ要素の例として、ばね-質量-ダンパ系の運動方程式は、

\begin{align}
f(t)= m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + k x(t)
\end{align}

である．ここで\(y”(t)\)は加速度、\(y'(t)\)は速度、\(y(t)\)は変位、\(m\)は質量、\(c\)は減衰係数、\(k\)はバネ定数である。

この運動方程式をLaplace変換すれば

\begin{align}
F(s) = m s^2 X(s) + c s X(s) + k X(s)
\end{align}

となる。整理すれば

\begin{align}
F(s) = \left(m s^2 + c s + k \right) X(s)
\end{align}

より伝達関数は

\begin{align}
G(s)=\frac{X(s)}{F(s)} =\frac{1}{m s^{2} + c s+ k}
\end{align}

と示される。ここで

\begin{align}
\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}} \hspace{10mm} \omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}} \hspace{10mm} K=\frac{1}{k}
\end{align}

とすれば

\begin{align}
G(s)=\frac{K \omega_{n}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2}
\end{align}

を得る。