三角関数のラプラス変換

\(f(t)=\sin \omega t\)をラプラス変換する。Eulerの公式

\begin{align}
e^{i \omega t } = \cos \omega t + i \sin \omega t \hspace{10mm} e^{- i \omega t } = \cos \omega t – i \sin \omega t
\end{align}

したがって\(\sin \omega t\)は

\begin{align}
\sin \omega t = \frac{1}{2i} \left( e^{i \omega t } -e^{ -i \omega t } \right)
\end{align}

と表すことができる。これをラプラス変換すれば（指数関数のラプラス変換は前回の結果参照）

\begin{align}
F(s) &= \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{s – i \omega } – \frac{1}{s+ i \omega } \right)\\
&= \frac{1}{2i} \frac{2 \omega i}{s^2 + \omega^2}\\
&= \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}
\end{align}

を得る。同様に\(f(t)=\cos \omega t\)の時はEulerの公式より

\begin{align}
e^{i \omega t } = \cos \omega t + i \sin \omega t \hspace{10mm} e^{- i \omega t } = \cos \omega t – i \sin \omega t
\end{align}

したがって\(\cos \omega t\)は

\begin{align}
\cos\omega t = \frac{1}{2} \left( e^{i \omega t } + e^{ -i \omega t } \right)
\end{align}

と表すことができる。これをラプラス変換すれば

\begin{align}
F(s) &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s – i \omega } + \frac{1}{s+ i \omega } \right)\\
&= \frac{1}{2} \frac{2 s }{s^2 + \omega^2}\\
&= \frac{s}{s^2 + \omega^2}
\end{align}

を得る。