可観測なシステムの安定性

いま線形な制御対象の安定化問題を考える。

初めに状態空間表現を

\begin{align}
\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)&=Cx(t)
\end{align}

システムのフィードバック則を

\begin{align}
u(t)= -Kx(t)
\end{align}

と定義する。この定義により閉ループ系は

\begin{align}
\dot{x} &=(A-B K)x(t)
\end{align}

と表現することができる。\( (A,B) \)が可制御であればフィードバックゲイン\(K\)が存在し、 \(A-B K \in \mathbb{R}^{n \times n}\)の固有値の実部が全て負であればこのシステムは安定する。