可観測なシステムの安定性

いま線形な制御対象の安定化問題を考える。

初めに状態空間表現を

$$\begin{align} \dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)&=Cx(t) \end{align}$$

システムのフィードバック則を

$$\begin{align} u(t)= -Kx(t) \end{align}$$

と定義する。この定義により閉ループ系は

$$\begin{align} \dot{x} &=(A-B K)x(t) \end{align}$$

と表現することができる。$(A,B)$が可制御であればフィードバックゲイン$K$が存在し、 $A-B K \in \mathbb{R}^{n \times n}$の固有値の実部が全て負であればこのシステムは安定する。