鏡行列の性質１

鏡行列\(Q\)

\begin{align}Q=
\begin{pmatrix}
\cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & -\cos 2 \theta
\end{pmatrix}
\end{align}

は転置行列

\begin{align}Q^{T}=
\begin{pmatrix}
\cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & -\cos 2 \theta
\end{pmatrix}
\end{align}

および逆行列

\begin{align}Q^{-1}&=-\frac{1}{\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta}
\begin{pmatrix}
-\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\
-\sin 2 \theta & \cos 2 \theta
\end{pmatrix}\\[1.5ex]
&=
\begin{pmatrix}
\cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\
\sin 2 \theta & -\cos 2 \theta
\end{pmatrix}
\end{align}

が等しくなるので

\begin{align}
Q=Q^{T}=Q^{-1}
\end{align}

が成り立つ。