並列回路の共振の良さ

共振回路の共振条件より

\begin{align}
\dot{Y}&=G+j \left ( \omega C – \frac{1}{\omega L} \right )\\
\end{align}

\(G\)で割って

\begin{align}
\frac{\dot{Y}}{G}&=\left \{ 1+j\frac{1}{G} \left ( \omega C – \frac{1}{\omega L} \right ) \right \}\\
\end{align}

ここで共振時の周波数\(\omega_0\)を使えば

\begin{align}
\frac{\dot{Y}}{G}&=\left \{ 1+j\frac{\omega_0 C}{G} \left ( \frac{\omega}{\omega_0} -\frac{\omega_0}{\omega} \right ) \right \}
\end{align}

\(Q=\dfrac{\omega_0 C}{G}\) とすると

\begin{align}
\frac{\dot{Y}}{G}&=\left \{ 1+j Q \left ( \frac{\omega}{\omega_0} -\frac{\omega_0}{\omega} \right ) \right \}
\end{align}

したがって\(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)より

\begin{align}
Q=\dfrac{\omega_0 C}{G}=\dfrac{C}{G} \frac{1}{\sqrt{LC}} =\dfrac{1}{G} \sqrt{\frac{L}{C}}
\end{align}

ここで\(Q\)は共振の鋭さと呼ばれる。