オイラーの公式から四倍角の公式を導出する

オイラーの公式を使って四倍角の公式を導出する。この方法は脳筋向け。\(\theta_1=\theta_2 =\cdots =\theta_4 = \alpha \)の合成を考えれば

\begin{align}
e^{ 4\alpha i} &=e^{3 \alpha i} e^{\alpha i} \\
&=(\cos^3 \alpha +3 i \sin \alpha \cos^2 \alpha -3 \sin^2 \alpha \cos \alpha – i\sin^3 \alpha )(\cos \alpha + i\sin \alpha )\\
&=\cos^4 \alpha +3 i \sin \alpha \cos^3 \alpha – 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha – i\sin^3 \alpha \cos \alpha \\
&\hspace{15mm} + i \sin \alpha \cos^3 \alpha -3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha -3 i \sin^3 \alpha \cos \alpha + \sin^4 \alpha \\
&=\cos^4 \alpha +4 i \sin \alpha \cos^3 \alpha – 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha – 4 i\sin^3 \alpha \cos \alpha + \sin^4 \alpha\\
\end{align}

これより

\begin{align}
\sin 4\alpha &= 4 \sin \alpha \cos^3 \alpha – 4 \sin^3 \alpha \cos \alpha \\
&= \cos \alpha (4 \sin \alpha – 8 \sin^3 \alpha)\\
\cos 4 \alpha &= \cos^4 \alpha – 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha\\
&=\cos^4 \alpha – 6 \cos^2 \alpha + 6 \cos^4\alpha + 1 – 2 \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha\\
&=8 \cos^4 \alpha – 8 \cos^2 \alpha + 1 \\
\end{align}

を得る。