並列共振のインピーダンスと共振周波数

RLC並列回路のインピーダンスは

\begin{align}
\frac{1}{\dot{Z}}&=\frac{1}{R}+ \frac{1}{ j \omega L} + j \omega C \\
&=\frac{j\omega L+R – \omega^2 R L C}{j \omega R L}
\end{align}

逆数にして

\begin{align}
\dot{Z}&=\frac{j \omega R L} {j\omega L+R – \omega^2 R L C} \\
&=\frac{j \omega R L(R – \omega^2 R L C-j\omega L)} {R – \omega^2 R L C+j\omega L)(R – \omega^2 R L C-j\omega L)} \\
&=\frac{j \omega R L(R – \omega^2 R L C-j\omega L)} {(R – \omega^2 R L C)^2+\omega^2 L^2} \\
&=\frac{\omega^2 R L^2+j \omega R^2 L(1 – \omega^2 L C)} {(R – \omega^2 R L C)^2+\omega^2 L^2} \\
& = \frac{\omega^2 R L^2}{\left( R – \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}+j \frac{\omega R^2 L \left( 1 – \omega^2 L C \right)}{\left( R – \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}
\end{align}

共振条件は虚部＝０であるので

\begin{align}
\frac{\omega R^2 L \left( 1 – \omega^2 L C \right)}{\left( R – \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}&=0 \\
1 – \omega^2 L C = 0
\end{align}

これを\(f\)について整理すれば

\begin{align}
f=\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
\end{align}

を得る。