オイラーの公式から三倍角の公式を導出する

オイラーの公式を使って三倍角の公式を導出する。この方法は脳筋向け。\(\theta_1=\theta_2 =\theta_3 = \alpha \)の合成を考えれば

\begin{align}
e^{i (\alpha + \alpha+ \alpha)} &=e^{i 2\alpha } e^{i \alpha } \\
&=(\cos^2 \alpha +2 i \sin \alpha \cos \alpha – \sin^2 \alpha )(\cos \alpha + i \sin \alpha )\\
&=\cos^3 \alpha +2 i \sin \alpha \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \cos \alpha\\
&\hspace{15mm}+i \sin \alpha \cos^2 \alpha -2 \sin^2 \alpha \cos \alpha – i\sin^3 \alpha\\
&=\cos^3 \alpha +3 i \sin \alpha \cos^2 \alpha -3 \sin^2 \alpha \cos \alpha – i\sin^3 \alpha
\end{align}

これより

\begin{align}
\sin 3\alpha &= 3 \sin \alpha \cos^2 \alpha – \sin^3 \alpha \\
&= 3 \sin \alpha – 4\sin^3 \alpha \\
\cos 3 \alpha &= \cos^3 \alpha -3 \sin^2 \alpha \cos \alpha\\
&= 4 \cos^3 \alpha -3 \cos \alpha\\
\end{align}