抵抗を直列接続と並列接続時した時の合成抵抗をそれぞれ求める

直列接続において回路に流れる電流は一定である。これを考慮して各抵抗での電圧降下を計算すれば

\begin{align}
E_{1} = R_{1} I \hspace{5mm} E_{2} = R_{2} I \hspace{5mm} \cdots \hspace{5mm} E_{n} = R_{n} I
\end{align}

ここで各抵抗の電圧降下の和は起電力に等しいので

\begin{align}
E = E_{1} + E_{2} + \cdots + E_{n} = (R_{1} + R_{2} + \cdots + R_{n})I=R_{s} I
\end{align}

より直列接続時の合成抵抗は次で与えられる。

\begin{align}
R_{s}=\sum_{i=1}^{n} R_{i}[\mathrm{\Omega}]
\end{align}

同様にして抵抗の並列接続時の合成抵抗を求める。各枝路に分岐する電流はそれぞれ

\begin{align}
I_{1} = \frac{E}{R_{1}} \hspace{5mm} I_{2} = \frac{E}{R_{2}} \hspace{5mm} \cdots \hspace{5mm} I_{n} = \frac{E}{R_{n}}
\end{align}

ここで流入する電流の総和は流出する電流の総和に等しいので

\begin{align}
I = I_{1} + I_{2} + \cdots + I_{n} =E \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \cdots + \frac{1}{R_{n}} \right)
\end{align}

より並列接続時の合成抵抗は次で与えられる。

\begin{align}
R_{p}=\frac{1}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{R_{i}} } [\mathrm{\Omega}]
\end{align}

特に\(n=2\)のときは

\begin{align}
R_{p}=\frac{ R_{1} R_{2} }{R_{1} + R_{2}} [\mathrm{\Omega}]
\end{align}

であり，かつ\(R_{1}=R_{2}\)のときは

\begin{align}
R_{p}=\frac{1}{2}R_{1} [\mathrm{\Omega}]
\end{align}

となる。