一次遅れシステムの基本形

入力信号\(x(t)\)と出力信号\(y(t)\)の間に次の一階微分方程式が成り立つものを一次遅れ要素もしくは一次要素という。

次のような微分方程式を持つシステムは一次遅れ系である。

\begin{align}
\tau \frac{dy}{dt}+y(t)=Ku(t)
\end{align}

ここで\(\tau\)を時定数、\(K\)とゲインという。ラプラス変換すれば

\begin{align}
\mathcal{L} \left\{ T \frac{dy}{dt}+y(t) \right\}&=\mathcal{L}\left\{Ku(t)\right\}\\
\tau sY(s)-Y(0)+Y(s)&=KU(s)\\
(\tau s+1)Y(s)&=KU(x)\\
\end{align}

よって

\begin{align}
Y(s)=\frac{K}{\tau s+1}U(s)
\end{align}

を得る。従って伝達関数\(G(s)\)は

\begin{align}
G(s)=\frac{K}{\tau s+1}
\end{align}

となる。