オイラーの公式から倍角の公式を導出する

これの続き。

オイラーの公式

\begin{align}
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\end{align}

から倍角の公式を計算することができる。いま\(\theta_1=\theta_2 = \alpha \)の合成を考えれば

\begin{align}
e^{i (\alpha + \alpha)} &=e^{i \alpha } e^{i \alpha } \\
&=(\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \alpha + i \sin \alpha )\\
&=\cos \alpha \cos \alpha +i \cos \alpha \sin \alpha + i \sin \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha
\end{align}

これより

\begin{align}
\sin ( \alpha + \alpha )&= \sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha \\
&=2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\cos ( \alpha + \alpha )&=\cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha \\
&= \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha
\end{align}

ここで\(\sin^2 \alpha =1- \cos^2 \alpha \)より

\begin{align}
\cos ( \alpha + \alpha )= 2 \cos^2 \alpha – 1
\end{align}

を得る。